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一、隨機(jī)信號(hào)和正太分布有什么關(guān)系？

 

作為一個(gè)工程師，很多人對(duì)隨機(jī)振動(dòng)看著熟悉，卻又實(shí)際陌生。熟悉是因?yàn)閹缀趺總€(gè)產(chǎn)品在出廠時(shí)都要求要做隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，陌生是因?yàn)楫?dāng)面對(duì)用戶所給的功率密度譜有時(shí)會(huì)感到很茫然，尤其是這個(gè)功率譜的單位居然是  ，簡(jiǎn)直是反人類，為啥整這么麻煩，不能給個(gè)加速度  直接振嗎？哈哈，這個(gè)還真不能，下面咱們就來(lái)抽絲剝繭，看看隨機(jī)振動(dòng)功率密度譜到底是咋個(gè)回事？

 

隨機(jī)振動(dòng)，是因?yàn)檎駝?dòng)源是隨機(jī)信號(hào)，顧明思議，就是信號(hào)的發(fā)生帶有隨機(jī)性，無(wú)法用一個(gè)明確的函數(shù)把它表達(dá)出來(lái)，一個(gè)典型的隨機(jī)信號(hào)大概長(zhǎng)這個(gè)樣子：

 

 

可以看出，乍一看完全沒(méi)有規(guī)律可言，高度不規(guī)則，無(wú)規(guī)律的，不可預(yù)估也不可重復(fù)，每次測(cè)量都不一樣。那隨機(jī)信號(hào)是不是就是不可描述的呢？首先我們研究一下什么是隨機(jī)，隨機(jī)對(duì)應(yīng)不確定性，不確定性在物理學(xué)和數(shù)學(xué)上是一個(gè)不受歡迎的詞，老板問(wèn)你圖紙什么時(shí)候畫(huà)完，你敢回答“隨機(jī)吧”，或者更佛系一點(diǎn)“隨緣吧”？相信等待你的可不僅僅是白眼哦，這也是為啥當(dāng)初波恩將概率解釋引入到量子力學(xué)時(shí)受到愛(ài)因斯坦強(qiáng)烈的反對(duì)，“上帝是不擲骰子”的典故便來(lái)源于此。然后諸多證據(jù)表明：也許隨機(jī)是這個(gè)世界的本質(zhì)特性之一，這可以由一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理來(lái)證明：中心極限定理。

一、隨機(jī)信號(hào)和正太分布有什么關(guān)系

 

中心極限定理有一組，但基本可以用一句通俗的話來(lái)概括它們：大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其平均值正態(tài)分布。對(duì)中心極限定理最形象的解釋是高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)：小球在下落過(guò)程中碰到很多個(gè)釘子，每次碰撞都是一個(gè)二項(xiàng)式的隨機(jī)過(guò)程：以同等的概率通過(guò)釘子左側(cè)或者右側(cè)，小球最后到達(dá)的位置，是這很多個(gè)“左右”隨機(jī)變量相加后的平均位置。不難看出，這個(gè)平均值落在中心處的概率最大，小球聚集最多，但也可能向左或向右偏，偏離越大，小球的數(shù)目越少，不同位置的不同小球數(shù)便形成了一個(gè)“分布”，中心極限定理則是從數(shù)學(xué)上證明了，這個(gè)分布的極限是正態(tài)分布。

 

 

高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)實(shí)質(zhì)上是一組二項(xiàng)式分布，從數(shù)學(xué)上還可以證明：中心極限定理的條件可以從二項(xiàng)分布推廣到獨(dú)立同分布隨機(jī)序列，以及不同分布的隨機(jī)序列。也就是說(shuō)：在一定條件下，各種隨意形狀概率分布生成的隨機(jī)變量，它們加在一起的總效應(yīng)，是符合正態(tài)分布的。

 

這也是為啥正太分布這么常見(jiàn)的原因，因?yàn)閷?shí)際上的隨機(jī)生物過(guò)程或物理過(guò)程，都不是只由一個(gè)單獨(dú)的原因產(chǎn)生的，它們受到各種各樣隨機(jī)因素的影響。比如產(chǎn)品加工免不了有誤差，而誤差形成的原因五花八門(mén)，各種各樣。就算我們打開(kāi)上帝視角，夠分別清楚產(chǎn)生誤差的每種單一原因，誤差的分布曲線可能不是高斯的，但是，所有誤差加累計(jì)在一起時(shí)，通常得到一個(gè)正態(tài)分布。下圖是30組隨機(jī)變量，和值隨數(shù)據(jù)增加時(shí)分布情況。

 

30組隨機(jī)變量（每組100萬(wàn)數(shù)據(jù)），和值的隨數(shù)據(jù)增加時(shí)分布情況
 

總之，中心極限定理告訴我們：無(wú)論引起過(guò)程的各種因素的基本分布是什么樣的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù) 充分大時(shí)，所有這些隨機(jī)分量之和近似是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。也就是說(shuō)：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而言，其分布是趨于正太的。

 

 

我們知道，正太分布的概率密度的表達(dá)式為：

 

 

其中為數(shù)學(xué)期望，代表著信號(hào)的平均值，

 

，

 

為方差，表示這信號(hào)偏離平均值的程度，

 

 。

 

為均方值，在工程上可以一般看成信號(hào)的平均功率，其平方根為有效值（RMS值），

 

 

很容易得到：

 

 

所以當(dāng)平均值為零的時(shí)候，均方值與方差相等。從圖形上看，平均值 決定了正太分布的位置，均方根值，也就是標(biāo)準(zhǔn)差  ，決定了分布的幅度。如果正態(tài)分布概率密度一旦確定，其數(shù)學(xué)期望和方差也就確定了。對(duì)于隨機(jī)信號(hào)而言，數(shù)學(xué)期望基本為零（或者去除直流分量后為零），所以唯一確定的量就剩均方值，此時(shí)均方值和方差一致，并且

 

 

如果仔細(xì)觀察上式，可以發(fā)現(xiàn)，從量綱來(lái)看， 代表了能量概念，而方差代表了平均功率概念。

 

前面我們說(shuō)到，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是趨于正太分布的，決定正太分布的兩個(gè)參數(shù)：平均值 基本為零（不為零時(shí)，直流分量也很容易處理），唯一能表征隨機(jī)信號(hào)的就剩均方值（時(shí)等于方差） ，也就是平均功率了。再具體一點(diǎn)，對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)而言，描述是沒(méi)有意義的，描述平均功率才有意義。如何才能描述平均功率呢？這時(shí)我們就要用到頻譜分析的概念了，可能有些人會(huì)覺(jué)得這個(gè)概念很生疏，我要說(shuō)我們每天一睜眼就在進(jìn)行譜分析你會(huì)信嗎？事實(shí)還真是這樣。我們的眼睛就是一雙最精密的譜分析儀：過(guò)濾到可見(jiàn)光以外的所有光線，并且可見(jiàn)光按照頻譜（頻率）進(jìn)行精確分類。

 

我們知道光本質(zhì)是一種電磁波，既然是波，就有波長(zhǎng) 和波動(dòng)頻率  ，光速 一個(gè)定值，波長(zhǎng)和波動(dòng)頻率成反比。人眼可識(shí)別出波長(zhǎng)在400納米至700納米的光線，并且根據(jù)波長(zhǎng)不同（頻率不同）將可見(jiàn)光分成紅、橙、黃、綠、藍(lán)、靛、紫色。

 

當(dāng)我們說(shuō)“一個(gè)東西的表面是紅色”的時(shí)候，這是正常人的定性描述，換成喜歡定量描述（裝X）工程師會(huì)怎么說(shuō)呢？“這個(gè)東西表面特性會(huì)選擇性反射一種電磁波，這種電磁波波長(zhǎng)約700納米，波動(dòng)頻率 約赫茲”。

 

 

那頻譜分析是什么呢？它是一種將復(fù)雜號(hào)分解為較簡(jiǎn)單信號(hào)的技術(shù)，許多物理信號(hào)均可以表示為許多不同頻率簡(jiǎn)單信號(hào)的和，找出一個(gè)信號(hào)在不同頻率下的信息（可能是幅度、功率、強(qiáng)度或相位等）的作法就是頻譜分析。比如通過(guò)一個(gè)三棱鏡就可進(jìn)行色散試驗(yàn)，將白光分解成頻率各不相同的單色光，我們經(jīng)常在雨后見(jiàn)到的彩虹也是一種色散現(xiàn)象。

 

 

在傅里葉變換背后到底有什么小秘密 這篇文章中，我們介紹了傅里葉變換概念，它是頻譜分析的基礎(chǔ)，這篇文章中介紹了復(fù)指數(shù)函數(shù)是如何構(gòu)成一個(gè)完備正交基的，以及如何進(jìn)行傅里葉變換及其逆變換。但是，說(shuō)這么多，頻譜分析和隨機(jī)信號(hào)有什么關(guān)系？
 

二、時(shí)域、頻域之間功率守恒？

 

頻譜分析和平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)可以通過(guò)一個(gè)叫“帕斯瓦定理”的公式聯(lián)系起來(lái)，一個(gè)經(jīng)常被低估的定理，大概長(zhǎng)這個(gè)樣子：

 

 

其中 是 的傅里葉變換，這個(gè)公式看著還挺對(duì)稱，被積函數(shù)都是自變量的平方，貌似蘊(yùn)含著什么深刻的意義。翻譯過(guò)來(lái)，這個(gè)定理說(shuō)的是什么事呢？那就是信號(hào)的能量（或者平均功率）無(wú)論在時(shí)域看，還是在頻域看，都是一樣的。

 

人類習(xí)慣于在時(shí)域觀察一個(gè)信號(hào)，那會(huì)不會(huì)存在另一個(gè)物種或者空間，他們喜歡在頻域觀察呢？但無(wú)論如何，帕斯瓦定理告訴我們，不論頻域還是時(shí)域，信號(hào)所代表的能量是守恒的，而守恒的本質(zhì)是對(duì)稱性，那是不是預(yù)示著時(shí)域和頻域有著某種高度的對(duì)稱呢？

 

好了，扯遠(yuǎn)了，哲學(xué)上的事情不歸工程師管，我們要所的事情就是如何定量化的的去描述不確定的東西，比如隨機(jī)信號(hào)。前面我們說(shuō)了，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 的幅值是呈現(xiàn)正太分布的，其平均值接近為零（或去除直流分量后），均方值或方差（也就是平均功率）是固定的，既然平均功率（或能量）在時(shí)域和頻域是守恒的，而在時(shí)域 是隨機(jī)的，不可描述，那我們可以換到頻域去啊：

 

 

其中：   ，  表示了信號(hào)的平均功率（或能量）在頻域上的分布，即單位頻帶的功率隨頻率變化的情況，故稱之為信號(hào)的自功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱自功率譜或自譜。   與 軸包圍的面積等于信號(hào)的平均功率，即 的幅值分布的方差或均方值。同時(shí)可以看出，當(dāng) 表示加速度時(shí)（單位為  ），的單位就變成了 。

 

三、自相關(guān)又是個(gè)什么玩意？

 

現(xiàn)在，事情就貌似變得簡(jiǎn)單了，我們將時(shí)域信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，得到頻域分布 ,然后平方積分就可以得到功率譜密度了啊。理論上，我們確實(shí)可以這么做，但是實(shí)際上，這樣做有一個(gè)小困難，那就是經(jīng)典傅里葉變換不是一直存在的，前提的：信號(hào) 絕對(duì)值可積，即 ，而實(shí)際上平穩(wěn)隨機(jī)變量是不滿足的。

 

為了解決隨機(jī)信號(hào)的傅里葉變換問(wèn)題，我還得引入一個(gè)概念：自相關(guān)，先看定義：隨機(jī)過(guò)程 的自相關(guān)函數(shù)定義為在時(shí)刻和時(shí)刻的隨機(jī)變量乘積的平均值，是時(shí)移，當(dāng)平均時(shí)間  時(shí)，平均值的極限便是自相關(guān)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：時(shí)，平均值的極限便是自相關(guān)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

 

 

 

定義有點(diǎn)拗口，可以先不理解，它說(shuō)明一個(gè)什么事呢？它反映了隨機(jī)信號(hào)本身在不同時(shí)刻的相互關(guān)系，再直白一點(diǎn)：把一個(gè)信號(hào)平移一段距離，跟原來(lái)有多相似。我們都知道，重要的證件上的照片，一般都要求是近半年的，道理顯而易見(jiàn)，時(shí)間久了跟現(xiàn)在長(zhǎng)得可能就不一樣了。下圖顯示了C羅近十年容顏的變化，都說(shuō)女大十八變（即使不整容），男的又何嘗不是。 

 

 

很顯然的一點(diǎn)是：隨著時(shí)間的推移，C羅的長(zhǎng)相是發(fā)生明顯變化的，時(shí)間越短，長(zhǎng)相越接近，可以想象，當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)后，不知道我們還能不能認(rèn)出他來(lái)，不信，你看：

 

 

 

 

對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，特別白噪聲隨機(jī)信號(hào)來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)移非常小時(shí)， 和 相差很小的概率很大，這時(shí)值非常大，表示關(guān)系密切。特別當(dāng)  時(shí)， 值最大，等于方均值，也就是平均功率，表示完全相關(guān)。

 

當(dāng)時(shí)移 較大時(shí)， 和 相差很小的概率很小。作平均計(jì)算正負(fù)對(duì)消，值很小。并且隨著值的增大，值很快衰減到零，表示和之間沒(méi)有依賴關(guān)系，對(duì)一般的寬帶隨機(jī)振動(dòng)，時(shí)間間隔很遠(yuǎn)的二個(gè)隨機(jī)量之間不存在任何固定關(guān)系。簡(jiǎn)單點(diǎn)來(lái)說(shuō)：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，自相關(guān)函數(shù)將信號(hào)的平均功率向 這一點(diǎn)集中，時(shí)自相關(guān)函數(shù)快速衰減為零。
 

 

 

對(duì)于周期信號(hào)，自相關(guān)函數(shù)可以把隨機(jī)信號(hào)中的周期成份檢測(cè)出來(lái)，這是因?yàn)槿魏沃芷谛盘?hào)在所有的時(shí)移上都有一定形狀的自相關(guān)函數(shù)圖形。對(duì)于周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后又精確的重復(fù)過(guò)去的時(shí)間歷程，因此當(dāng)時(shí)移超過(guò)該周期時(shí)，其自相關(guān)函數(shù)必然重復(fù)前一段的形狀。

 

所以若在自相關(guān)函數(shù)圖上發(fā)現(xiàn)時(shí)移趨于無(wú)窮大， ，而有某種周期性，則說(shuō)明該隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)混有周期信號(hào)成分。 簡(jiǎn)單點(diǎn)來(lái)說(shuō)：自相關(guān)函數(shù)能夠檢測(cè)出信號(hào)內(nèi)部蘊(yùn)藏的周期組分，而過(guò)濾掉了周期組分的相位信息。

 

對(duì)于上面兩段話不是很理解的，可以看下面兩幅圖，分別是白噪聲隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)相位正弦信號(hào)及其自相關(guān)信號(hào)。

 

 

說(shuō)了這么多，和我們要進(jìn)行功率譜分析有什么關(guān)系？前面我們分析了，信號(hào)的功率在時(shí)域和頻域都是滿足守恒定律的， 

 

 

而功率被定義成幅值的平方的時(shí)間平均分量，而這個(gè)過(guò)程，也可以看成是去除頻域諧波分量的相位信息的過(guò)程，因?yàn)楸举|(zhì)來(lái)說(shuō)，一個(gè)簡(jiǎn)諧信號(hào)的相位是不影響其功率的。而自相關(guān)函數(shù)，也具有去除信號(hào)相位的功能，那自相關(guān)函數(shù)和功率密度譜是不是有什么深刻的聯(lián)系呢？答案是肯定的，那就是維納-辛欽定理（Wiener–Khinchin theorem），這個(gè)定理表明：信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與功率密度譜是一對(duì)傅里葉變換對(duì)：

 

 

也就是說(shuō)：一個(gè)信號(hào)的功率密度譜，就是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。

 

總結(jié)一下整個(gè)邏輯：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)信號(hào)而言，時(shí)域信息是雜亂無(wú)章的，唯一的確定性信息但是在統(tǒng)計(jì)意義下得到的，即幅值呈正太分布，均方值也就是平均功率是固定的。根據(jù)帕斯瓦定理，信號(hào)的平均功率在時(shí)域和頻域是守恒的，按道理說(shuō)直接對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換再取平方就可以。

但不幸的事，隨機(jī)信號(hào)的不滿足傅里葉變換絕對(duì)值可積的條件，嚴(yán)格意義傅里葉變換不存在，于是發(fā)明了自相關(guān)函數(shù)的概念，將信號(hào)的蘊(yùn)含的周期信號(hào)識(shí)別出來(lái)，并將相位信息去掉（相位不影響平均功率），于是就出現(xiàn)了我們?cè)诮滩纳弦?jiàn)到的最終形式維納-辛欽定理：一個(gè)信號(hào)的功率密度譜，就是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。提煉一下就是：隨機(jī)信號(hào)→幅值正太分布→均方值（平均功率）→帕斯瓦定理（功率守恒）→自相關(guān)函數(shù)（去除相位信息）→維納-辛欽定理（最終形式）。