【導讀】這學期的信號與系統進展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網絡求解相鄰節點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統的作用，所以將其替換成 z 變換進行描述，則在分析求解過程中會更加的清晰。
01 電阻網絡
一、問題來源
在網文 Infinite Ladder of 1Ω of Resistor[1] 中討論了如下無窮電阻網絡兩個相鄰節點之間的電阻。特別有意思的是，文中還是用了離散傅里葉變換（DFT）給出了另外一種求解方式。這不禁讓人們好奇：在這樣的電阻網絡分析中，離散傅里葉變換到底起到什么作用？
圖1.1 一歐姆組成的無線電阻網絡
二、問題求解
1、普通求解方法
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實際上，原文給出了使用普通電阻串并聯分析方法， 過程也比較容易。先假設分別從節點 (0) 和 (1) 往左和往右得到的等效電阻為
。
圖1.1.2 向左，向右兩個半邊無限電阻網絡等效電阻
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由于半邊電阻網絡是無窮大的，所以再前進一個節點所對應的等效電阻仍然是
。這樣就可以得到如下等式：
這樣便可以求解出
。上面等式化簡為
由此可以求得
圖1.1.3 半邊無限電阻網絡的每一級都是等效電阻R'
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那么相鄰兩個節點之間的電阻為
圖1.1.4 相鄰節點之間的等效電阻
2、離散傅里葉求解
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假設每個節點都由外部施加有電流源進行激勵， 分別記做為
。對應每個節點的電壓為
。
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根據基爾霍夫節點電流定理和歐姆定理可以知道
(1-2-1)
圖1.1.5 每個節點對應的電壓與電流
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假設序列
所對應的離散序列傅里葉變換分別為
，則有
根據離散傅里葉變換的位移性質，三個相鄰節點電壓
的離散傅里葉變換分別為
據前面公式（）可以知道
(1-2-2)
如果在節點 (0), (1) 施加正負1A的電流，對應的
。在電阻網絡各節點形成對應的電壓
分布。那么節點 (0)，(1) 之間的電壓差
就是電阻網絡等效的電阻
。
圖1.1.6 在相鄰兩個節點施加正負1A電流激勵
根據
，所以
那么對應的電阻
三、利用Z變換求解
離散序列的傅里葉變換實際上是 z 變換的一種特殊形式， 即
， 即 z 變換在單位圓上的取值 。那么上述過程是否也可以利用 z 變換求解呢？
1、z變換方程
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對于電阻網絡做相同的電流激勵，每個節點輸入的電流源和節點對地的電壓分別記作
。它們對應的 z 變換為
。則有
根據公式 (1-2-1) 以及 z 變換的位移特性，則有
(1-3-1)
對電阻網絡施加電流
，對應的
2、留數定理求取積分
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上述積分通過留數定理進行求取。積分公式中包含有三個極點
由于
都是雙邊序列，所以它們的收斂域都是圓環。根據電流激勵源為
，所以可以知道 都是面積可和序列，所以它們存在離散傅里葉變換， 這也說明
的收斂域包含有單位圓。
根據上述分析，可以知道積分號中的被積函數的收斂域只能如下圖所示。
圖1.3.1 積分式內函數的收斂域
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所以，
對應的圍線積分的路徑中只包含有
兩個極點。這兩個極點對應的留數分別為
所以相鄰節點之間的電阻為：
02 DFT與ZT
到此為止，我們了解了在求解電阻網絡相鄰節點電阻的時候，利用離散傅里葉變換（DFT）的作用，并不是對于各節點信號進行頻譜分析，而是利用 DFT 描述了電阻網絡在節點電流激勵下 網絡節點電壓之間的關系。也就是把上面表達式（1-2-1）轉換成（1-2-2）。然后在DFT變換域內對
作用下求解
，進而可以獲得
。
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在最后計算過程中，需要對比較復雜的三角函數進行積分，這個過程顯得比較麻煩。
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離散傅里葉變換實際上是 z 變換的一種特殊形式， 也就是
，即 z 變換在單位圓上的取值。所以將上述分析更換成 z 變換的形式，也能夠進行求解。
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如果將電阻網絡看成離散節點電流輸入
，離散節點電壓輸出
，因此這是一個線性離散時不變系統。描述它可以使用 z 變換。這樣系統方程就變成了（1-3-1）。在 z 變換域內求取系統的輸出更加方便。
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可以看到最后計算時，利用留數定理計算最終的積分值比較方便，避免了比較復雜的三角函數的積分計算。但在分析被積函數的收斂域的時候，需要比較小心。
總結
這學期的信號與系統進展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網絡求解相鄰節點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統的作用，所以將其替換成 z 變換進行描述，則在分析求解過程中會更加的清晰。
參考資料
[1] Infinite Ladder of 1Ω of Resistor: https://sites.google.com/site/resistorgrid/node1#sec:1D
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