【導讀】根據您在涉及圓柱形底座的其他物理領域的經驗，您可能已經正確猜測，當導線具有圓形橫截面時，方程 1 的答案應包括貝塞爾函數。對于我們總是試圖為不同現象開發簡單模型的工程師來說，這不是一個好消息。貝塞爾函數可用于模擬各種物理問題，從圓柱形物體的熱傳導到描述鼓皮等圓形薄膜的振動。然而，它們可能很難可視化，并且顯然比簡單的指數衰減正弦波要簡單得多。
圓柱形導體中的電流分布
我們可以求解良導體的麥克斯韋方程組，找到電流密度 J 的以下微分方程：
$$ abla ^2 J = j omega mu sigma J$$
等式 1。
如果您對向量微積分概念感到生疏，那么可怕的符號 ? 2 （Del 平方）被稱為拉普拉斯算子。簡而言之，拉普拉斯算子是多維空間中二階導數概念的推廣。它由下式給出：
$$ abla ^2 = frac{partial^2 }{partial x^2} + frac{partial^2 }{partial y^2} + frac{partial^2 }{partial z^2}$$
等式2。
方程 1 描述了良導體中的電流分布。它對于導電半空間和具有圓形橫截面的導線均有效。然而，我們針對這兩類媒體獲得的解決方案是完全不同的。對于導電半空間，電流密度是一個簡單的指數衰減正弦函數（如果我們假設我們正在處理平面波）。但是圓柱形導體呢？
根據您在涉及圓柱形底座的其他物理領域的經驗，您可能已經正確猜測，當導線具有圓形橫截面時，方程 1 的答案應包括貝塞爾函數。對于我們總是試圖為不同現象開發簡單模型的工程師來說，這不是一個好消息。貝塞爾函數可用于模擬各種物理問題，從圓柱形物體的熱傳導到描述鼓皮等圓形薄膜的振動。然而，它們可能很難可視化，并且顯然比簡單的指數衰減正弦波要簡單得多。
由于這些函數的復雜性，我們不會詳細分析分析的數學細節，而僅查看Simon Ramo 所著的《通信電子學中的場和波》一書中提供的結果。圖 1 顯示了四種不同頻率下 1 毫米直徑圓線橫截面電流分布的歸一化幅度。
圖 1. 圓形導線中電流分布的歸一化幅度。圖片由S. Ramo提供
上圖中的參數r 0表示導線的半徑。在頻率 ( f ) 為 1 kHz 時，集膚深度約為導體半徑的 4.2 倍（或等效 r 0 /δ = 0.239）。正如您所看到的，在這種情況下電流分布幾乎是均勻的。
隨著頻率增加，趨膚深度減小，并且比率r 0 /δ從1kHz處的0.239增加至1MHz處的7.55。請注意，即使對于r 0 /δ=2.39，導線中心處的電流密度也幾乎是導體表面處的電流密度的一半。這與集膚效應的簡化描述不一致，集膚效應指出電流密度在δ深度處降低至其表面值的e -1 =0.37。
圖 2 將 r 0 /δ=2.39 和 r 0 /δ=7.55的實際電流分布與電流密度的指數衰減分布（對應于導電半空間中的波傳播）進行了比較。正如您所看到的，只有當導體的曲率半徑遠大于趨膚深度時，半空間情況的結果才能用于近似圓線中的實際電流分布。
圖 2. 實際電流分布與平行平面公式的比較。圖片由S. Ramo提供
根據經驗，如果導體的所有曲率半徑和厚度至少比趨膚深度大 3-4 倍，我們假設給定的導體類似于半無限塊。到目前為止，在這個由兩部分組成的系列中，我們依靠求解麥克斯韋方程組來描述集膚效應的一些重要的特征。通過觀察法拉第感應定律如何在導體內部產生渦流，可以對這種效應有更深入（也許更有用）的了解。有了這種洞察力，我們就可以更好地理解不同互連的行為方式。
法拉第感應定律和渦流
根據法拉第定律，變化的磁場會在導線中感應出電動勢（從而產生電流）。圖 3(a) 中簡單而熟悉的實驗說明了該定律的基本思想。通過將磁鐵靠近電線環，電線中會產生感應電動勢，從而產生感應電流。
圖 3.改變磁場會在導體中感應出電流
感應電動勢與通過電路的磁通量的時間變化率成正比。此外，感應電流往往與初產生感應電流的原始磁通量的變化相反（楞次定律）。
圖 3(b) 顯示了當磁鐵靠近線圈時產生的感應磁通量。感應磁場的方向是試圖保持原始磁通量不發生變化。
什么是渦流？
正如變化的磁場可以在環路中感應出電流一樣，當將大塊金屬置于變化的磁場中時，它也可以在大塊金屬中產生循環電流。這些循環電流稱為渦流，如圖 4 所示。
圖 4. 在導電平面中產生渦流。圖片由Sciencefacts提供
再次注意感應電流的方向。假設線圈的磁場沿所描繪的方向增加，則感應出逆時針方向的電流以產生與線圈的原始磁場的變化相反的磁場。
載流導體內的渦流
當電流流過電線時，會在電線內部和外部產生磁場。對于交流電流，導線內部有一個隨時間變化的磁場，根據法拉第定律，導線內部會產生渦流。如下圖 5 所示。
圖 5.交流電流在電線中感應出渦流。
可以看出，渦流在導體表面附近沿主電流方向流動，但在導體內部沿相反方向流動。因此，靠近導體表面流動的總電流增加，而流過導體更深層的電流減少。
導體中的電流擁擠
應該注意的是，導體的某些表面可能比其他表面更有效地承載交流電流。為了理解這一點，請回想一下我們上面的討論，變化的磁場會導致集膚效應。現在，如果導體的特定表面處的磁場更強，我們可以預期該表面將承載更大部分的電流。例如，考慮圖 6 中所示的微帶線的橫截面。
圖 6.參考平面上微帶線導體的橫截面。
圖 6 顯示了微帶線中電場和磁場的一般模式以及粗略的電流分布。請注意，這不是模擬結果。這只表明行為粗暴！
您是否注意到磁場更加集中在走線的底面和地平面之間？因此，微帶線的底面比其頂面承載更多的電流。例如，大約 60% 的電流可能集中在線路橫截面區域的深色陰影區域。由于相鄰載流導體的影響而導致電流聚集在特定表面的現象稱為鄰近效應。
并行線路中的電流擁擠
當處理兩根平行的圓柱形線時，觀察到類似的效果（圖 7）。在該圖中，兩個導體中的電流方向相反，因此導線之間的磁場強。結果，當前的人群聚集在彼此相對的表面上。
圖 7. 平行線的電流擁擠和鄰近效應。圖片由J. Davis提供
矩形導體中的電流擁擠
有趣的是，即使對于孤立的電線（沒有鄰近效應），導體的所有表面也可能不會承載相同量的電流。例如，細而寬的矩形導體的電流分布如圖 8 所示。如您所見，垂直表面的電流密度大于水平表面。這是因為這些表面具有更強的磁場。
圖 8. 細矩形導線中的電流分布。圖片由Thomas H. Lee提供
方形導體中的電流擁擠
從上面顯示的薄矩形導體的結果中，您也許能夠猜測方形導體的電流分布是什么樣的。圖 9 顯示了方形橫截面導體中的電流擁擠情況。四個角的電流密度。
圖 9. 方形導體的電流分布。圖片由艾倫·佩恩提供
不要忘記頻率對當前擁擠的影響
正如我們在本文開頭附近討論的那樣，電流分布和趨膚深度是頻率的函數。當然，電流擁擠也取決于交流信號的頻率。直流信號不會出現電流擁擠，并且會隨著頻率的增加而增加（直到某個點）。
由于電流擁擠，導體會遭受二次效應，需要在實際應用中考慮。導體的有效電阻可能比我們假設恒定電流分布時更高。電流擁擠還會導致導體中的熱量和應力增加。當您創建使用時變信號的新設計時，始終考慮渦流和電流擁擠對電路性能的潛在影響。
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